العزم الزاوي وحركة الجيروسكوب

الأنظمة الدوارة تسلك سلوكاً غريباً عندما نطبق عليها الحدس الشخصي لنا. حركة الجيروسكوب هنا تعطي مثالاً. الجزء الفضي الملون الدائر داخل الحلقة ينوس بسرعة حول محوره. كما نرى وجود ثقل خفيف، معلق على إحدى نهايتي محور دوران الجزء الدائر، يعطي الحركة التي نشاهدها حول المحور. للوهلة الأولى نتوقع أن يسبب الوزن عند النهاية هبوط محور الدوران للأسفل، ولن تدور حول المحور.

دعنا نبدأ بالفكرة القائلة بأن السرعة الزاوية لجسم دائر هي شعاع كمية الحركة الذي طويلته تساوي لعدد الراديانات التي يغطيها الجسم الدائر في واحدة الزمن، واتجاهه عمودي على مستوي الدوران. إذا كانت جهة الدوران عكس عقارب الساعة تكون جهة شعاع السرعة الزاوية إلى خارج مستوي الدوران. وإذا كانت جهة الدوران مع عقارب الساعة تكون جهة شعاع السرعة الزاوية إلى داخل مستوي الدوران. نرمز للسرعة الزاوية بـ (w). في الأنظمة الدوارة السرعة الزاوية تماثل السرعة الخطية للأنظمة المتحركة حركة انسحابية.

يوجد أيضاً في الأنظمة الدوارة مقدار يماثل الكتلة في الأنظمة المتحركة حركة انسحابية. هو عزم العطالة (I). عزم العطالة لجسم هو مقدار سلمي، طويلته تعتمد على الشكل الهندسي للجسم ومحور الدوران.

في الحركة الانسحابية جداء الكتلة بشعاع السرعة يعرف بأنه كمية الحركة للنظام، كذلك في الحركة الدائرية جداء عزم العطالة بشعاع السرعة الزاوية يعرف بأنه العزم الحركي (L).

نود إيضاح ما الذي في نظام الحركة الدائرية يماثل القوة في نظام الحركة الخطية. هي مقدار يدعى  العزم الزاوي (t) وهي تساوي إلى جداء القوة المطبقة حول محور محدد بالمسافة بين نقطة تطبيق القوة ومحور الدوران. هذا العزم سيكون عمودي على المستوي المحدد بالمسافة و القوة. في الحركة الخطية معدل التغير للعزم الخطي يساوي للقوة المطبقة على الجسم. في الحركة الدائرية معدل تغير العزم الزاوي يساوي للعزم المطبق على الجسم.

نحلل فيمايلي حركة الجيروسكوب اعتماداً على ما سبق. العزم الحركي شعاع يوازي محور الدوران، طويلتهIw.  جداء العزم الزاوي بالوزن المعلق على أحد طرفي المحور هو شعاع  عمودي على المستوي العمودي الذي يحتوي محور الدوران. طويلته، من تعريف الجداء الشعاعي، تساوي للمسافة على طول محور الدوران من منتصفه إلى نقطة التعليق(r) مضروبةً بالكتلة المعلقة(m). وتسارع الجاذبية الأرضية (g) وجيب الزاوية بين محور الدوران والمحور العمودي (a).

|t| = mg rsina

تذكر بأن العزم الزاوي يساوي لمعدل تغير العزم الحركي (dL/dt لذلك طويلة dL/dt تعطى بالعلاقة:

|dL/dt | = mgr sina

شعاع العزم الزاوي عمودي على المستوي الذي يحتوي محور الدوران. العزم الزاوي dL/dt أفقي وعمودي على شعاع العزم الحركي.

بأخذ تغيرات صغيرة للزمن dt, شعاع العزم الحركي يتغير من القيمة البدائية Li إلى القيمة النهائية Lf = Li + dL. الشكل المجاور يبين ذلك:

الزاوية الصغيرة fd, تغير  في المستوي الأفقي  من جهة شعاع العزم الحركي، وكذلك تعتمد على محور الدوران.

من الشكل أعلاه نجد أن:

df = dL/L = (mgrsina)dt /L

معدل تغير f يساوي  df/dt  لذلكwp التواتر الزاوي لمحور الدوران، يدعى بتواتر الحدث.

wp = (mgrsina)/Iw

قمنا بتعويض L بقيمتها Iw في العلاقة السابقة.

التحليل السابق صحيح فقط في حالة wp أصغر بكثير من w. هذا يتحقق عندما يكون المقدار Iw كبير بالمقارنة

 مع amgrsin. في الحقيقة حركة الجيروسكوب من الحركات المعقدة و تتخامد عملياً مرور الزمن.